|
Осень 2009
Продолжение курса весной - в течение четырех недель 22.03.2010 - 16.04.2010.
У меня нет сейчас доступа к письмам на ayv@iitp.ru. Пишите на адрес ayv53@rambler.ru А.Ю.В.
Предварительный список докладов на весенний семестр (по книге Басса), с именами докладчиков, которые уже выбрали себе доклады:
(1) Ch. 1.5 (Markov properties, basically thm 1.5.1). - Катя
(2) Ch. 1.4 (Types of uniqueness, basically thm 1.4.2). Имейте в виду, что ваш лектор не убежден в том, что доказательство теоремы 1.4.2 корректно. Поэтому очень интересно было бы найти ошибку, хотя он (лектор) не убежден и в ее наличии. Сам результат известен при небольших дополнительных ограничениях из других источников, так что речь идет только о корректности данного доказательства.
(3) Ch. 1.9 (Stratonovich integrals).
(4) Ch. 1.10 (Flows).- Саша
(5-6) Ch. 1.11-12 (SDEs with reflection) - это два "совместных", то есть тесно связанных доклада, но на двоих.
(7) Ch. 2.6 (Neumann etc.)
(8) Ch. 2.7 (Fundamental solutions and Green"s functions).
(9) По какому-либо еще источнику: случайная замена времени (Ватанабе-Икеда "Стох. диф. уравнения и диффузионные процессы", либо Маккин "Стохастические интегралы"). - Олег
ЭКЗАМЕН 11 января 2010 в 12.00 (?), и 15 явнаря, после 15.00, кафедра
Последние комментарии к последним трем вопросам к экзамену.
15. Функции Ляпунова и оценки моментов достижения для конкретных СДУ.
Надо сформулировать определение ф.Л. Далее, в лекциях Н.В.К. есть три примера, один из которых нам рассказывала Катя 23.11.09. (остальные два не были рассказаны, к сожалению.) Это о ф.Л., и кажется в этих лекциях даже употребляется это самое название (хотя сам Н.В.К. собственно ф.Л. и не занимался никогда). См., например, файл http://www.maths.leeds.ac.uk/Statistics/research/reports/2009/STAT09-03.pdf
и в нем, например, Лемму 1. Это пример как оценивать экспоненциальный момент достижения некоторого множества для конкретного процесса. Примерно такую выкладку я показывал на последней лекции. Что-то совершенно аналогичное есть в другом файле, http://www.maths.leeds.ac.uk/Statistics/research/reports/2009/STAT09-04.pdf
(леммы 1 и 2).
13. Стационарный режим для решения СДУ. Достаточные условия существования. Сходимость к стационарному режиму. (Лекции в 16-01; «финский файл»)
14. Коэффициент бэта-перемешивания процесса, его оценка с методом каплинга с использованием «леммы о трех случайных величинах».
Вопросы 13 и 14 примерно об одном и том же, просто немного в разных терминах.
В тех же файлах (см. выше) оцениваются еще моменты "гамма" (скажем, в последнем файле это лемма 4).
Далее, на предыдущих лекциях (вероятно, 7.12.09?) я показывал другую выкладку, о том, как оценивать "разность двух мер" по вариации, совершенно аналогично для коэф. бета-перемешивания и для расстояния по вариации, используя оценки последовательности моментов "гамма_n". Например, в первом из указанных файлов это выкладка на стр. 17, основанная на "неравенстве каплинга" и некоем разложении единицы, которая на той же стр. 17 приводит прямо к оценке коэффициента бета.
%%%%%%%%%%%%%%%
ЛЕКЦИЯ И СЕМИНАР 14.12.2009 СОСТОИТСЯ (состоялись)
Программа с/к "Теория эргодических марковских диффузионных процессов" рассчитана на конец сентября - конец ноября. Разумеется, в полном объеме это не слишком реально, однако, это некая связная программа, часть которой мы постараемся пройти (с помощью также и с/с). Некоторые главы можно будет оставить до весеннего семестра.
Лекции: пн. 16-45 в ауд. 16-01. Семинары: пн. 18-30 (или 18:40) ПОКА ТОЖЕ В ауд. 16-01. Все еще возможно, что придется их перенести в ауд.182 Лаб. корпус А. (Проверьте, что Вы записаны в список.)
02.11.2009: похоже, что аудиторию нам оставили для семинара, хотя официально это не подтверждено.
Тема первой (и второй) лекции - винеровский процесс: построение и некоторые свойства. Третьей и 4й - стохастический интеграл и первые понятия о стохастических дифференциальных уравнениях (СДУ). Необходимый вспомогательный материал (отчасти на семинарах) - мартингалы и семимартингалы, простейшие неравенства для них (Колмогорова и Дуба). 5й - формула Ито и некоторые теоремы о сильной единственности для СДУ, 6й (26 октября) - способы построения слабых решений и теорема Гирсанова, 7й (2 ноября) - продолжение рассказа о слабых решениях и теорема Бенеша о применимости теоремы Гирсанова для линейно растущего сноса (при постоянной невырожденной матрице диффузии), 8й (9 ноября) - обобщение теоремы Бенеша [не было обобщения], еще о слабых решениях методом Скорохода и Крылова, оценки моментов решений СДУ, зависимость решений от параметров и начальных значений, 9й (16 ноября) - марковское свойство и связь с решениями параболических дифференциальных уравнений второго порядка, а также всякие мелкие дополнения, 10й (23 ноября) - другой способ вывода марковского свойства и начало темы "стационарные марковские процессы и перемешивание".
30 ноября ПЕРЕРЫВ.
7 декабря - коэффициенты перемешивания, функции Ляпунова и применение леммы о трех случайных величинах. 14 декабря (последняя лекция в семестре) - продолжение темы оценки коэффициентов перемешивания.
План на весенний семестр (только 4 недели в марте - апреле): неравенства Харнака и их применение к сходимости к стационарному режиму, и далее, к уравнениям Пуассона. Понадобится статья Крылова и Сафонова (см. ниже) и книга Басса (R.Bass - доступна на сайте колхоза).
В четверг 19.11.2009 в Стекловке состоялся доклад С.В.Ануловой о неравенствах Харнака (3:30 - 5:00pm). ОБЕЩАНО ПРОДОЛЖЕНИЕ, но не в следующий четверг. Я рекомендую пойти, если будет возможность. Части доклада хотя и будут как-то связаны, но заведомо допускают прослушивание отдельных частей. (А сколько будет частей, пока даже и неясно.)
Следите за сайтом семинара: http://www.mi.ras.ru/index.php?c=seminars&m=2#11
Напоминаю мой электронный адрес: ayv@iitp.ru
А.Ю.В.
Информация 220909; 230909
01.10.2009: по поводу леммы 1 в тексте Н.В.Крылова (С.В.Анулова и др., Стохастическое исчисление. ВИНИТИ 1989, Вероятность - 3). Должно быть, $alpha > 1/p$, и в английской версии это исправлено.
Краткий конспект
Л1-2
Л3-4
Л5: формула Ито и сильные решения.
О регулярных условных вероятностях см. книгу Parthasarathy, Probability measures on metric space.
Л6
Список прошлых и будущих докладов на семинаре: список
(Если я что-то забыл, НАПОМНИТЕ, пожалуйста!)
Темы к полугодовому экзамену: список тем
Черновой файл статьи Звонкин-Крылов 1975: (файл со склеенными страницами не грузится, берите каждую стр. отдельно!)
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 25 26 li1 li2 front_page
(некоторых страниц пока не хватает, но в них материал, который нам сейчас не нужен; надеюсь через некоторое время все-таки добавить их)
Крылов-Сафонов-79 (скоро пригодится)
(1 2 3)
total file
31.10.2009: Теперь у нас есть отсканированные лекции Н.В.Крылова, спасибо Борису Агафонцеву и его другу за бескорыстную помощь науке:
Том1 Том2
Также есть его же лекции по эллиптическим уравнениям: пока они не использовались в курсе, но потенциально могут пригодиться, рано или поздно:
Эллиптические уравнения
19.11.2009. Новое поступление: Крылов Н.В., Управляемые (процессы диффузионного типа). (по-английски - пока у нас нету русского файла) Должен попросить всех НЕ распространять этот файл в Интернете (это относится и к предыдущим материалам тоже!). Иначе у меня могут возникнуть неприятности понятного характера. Из этой книги нам нужна (и то частично) ТОЛЬКО ВТОРАЯ ГЛАВА (не первая!).
То же по-русски: Управляемые-ру!
Лекции по МП
Некоторые темы для исследования (для курсовых, дипломных, и т.д.): список09
Лепелтье для СА:
L76
Весна 2010
03.04.2010: предложение 5.7.2 доложено. пройдена теорема 5.7.5 и начата теорема 5.7. РАЗБИРАЙТЕ ДОКЛАДЫ, пожалуйста, а то у нас не будет докладов на ближайших семинарах. Появились новые файлы книг Крылова и Гихмана-Скорохода - см. внизу странички.
01.04.2010: кроме шуток. Мы "прошли" теорему 5.7.4, и завтра (пт. 02.04.2010) будем осваивать 5.7.5 и 5.7.6. Последняя и есть Харнак Крылова-Сафонова. Кроме того, предложение 5.7.2, - которое мы пока просто "поняли" на уровне идеи (теоремы о точках плотности Лебега), - нам доложит на семинаре Аня.
КАФЕДРА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
с/к и с/с "Теория эргодических марковских диффузионных процессов", семестр 2
Основная тема весеннего семестра: локальное перемешивание и теорема
Крылова-Сафонова о неравенстве Харнака, и уравнения Пуассона "во всем
пространстве". Основная литератора - статьи К. и С. и книга Р.Басса
(Richard Bass, Diffusions and elliptic operators, Springer, New York et
al, 1997), статьи лектора и Э.Парду (E.Pardoux).
Не уверен, что успеем Пуассона (01.04.2010).
Пн. 16:45 (16.01 - с/к) и 18:30 (12.13 - с/с)
Пт. 16:45 (с/к) и 18:30 (с/с) (ауд. 436 во 2-ом Гуманитарном корпусе) (или 463 напротив)
Интенсивные занятия будут происходить два раза в неделю в течение
четырех недель в марте-апреле 2010 г.
Начало 22 марта в 16:45 (16.01).
Приглашаются студенты старших курсов, интересующиеся теорией
стохастических дифференциальных уравнений и ее связями с уравнениями в
частных производных. На семинаре предполагаются доклады участников по 1й
и 2й главам вышеупомянутой книги Басса. Примерный список докладов см.
ниже; часть тем уже разобраны, что отмечено значком #. Основная
теоретическая часть будет основана на главе 5 и отчасти на статьях.
Теорему 5.7.2, не имеющую прямого отношения ни к теории вероятностей, ни
к УРЧП, настоятельный совет прочесть перед началом занятий 22.03.2010.
Книгу разумно найти заранее в библиотеке мехмата. Препринты необходимых
статей будут предоставлены. (Пока что см. страничку прошлого семестра.)
Хотя с/к является естественным продолжением осеннего семестра,
предполагается, что часть материала будет повторена уже с несколько
других позиций, а другая часть вообще, в принципе, потребует лишь
владения основными понятиями теории марковских процессов. Иными словами,
материал будет сделан по возможности максимально независящим от
материала прошедшего семестра. В связи с этим, приглашаются
действительно все желающие. С другой стороны, конечно, участие в осеннем
семестре, даже частичное, можно рассматривать как серьезную подготовку,
которая облегчит восприятие.
Перемешивание является конкретизацией свойства "слабой зависимости",
приспособленного к применению в проверке основных теорем теории
вероятностей - ЗБЧ и ЦПТ, которые, собственно, послужили основной
мотивацией для создания самого класса марковских процессов в конце 19
века. Это свойство исключительно важно и в УРЧП, в связи с теорией
уравнений Пуассона, - второй основной темы с/к, - и теорией
гоможенизации (последняя, однако, непосредственно затронута не будет).
Теорема Крылова-Сафонова является одной из "точек роста" эллиптических и
параболических УРЧП и теории диффузионных процессов. Не проходите
мимо...
Темы для докладов на семинаре (по книге Басса): знаком диеза отмечены
уже выбранные доклады
(1) Ch. 1.5 (Markov properties, basically thm 1.5.1). - #
(2) Ch. 1.4 (Types of uniqueness, basically thm 1.4.2).
(3) Ch. 1.9 (Stratonovich integrals).
(4) Ch. 1.10 (Flows).- #
(5-6) Ch. 1.11-12 (SDEs with reflection) - это два тесно связанных
доклада на двоих.
(7) Ch. 2.6 (Neumann etc.)
(8) Ch. 2.7 (Fundamental solutions and Green"s functions).
(9) По какому-либо еще источнику: случайная замена времени
(Ватанабе-Икеда "Стох. диф. уравнения и диффузионные процессы", либо
Маккин "Стохастические интегралы"). - #
Большинство докладов следует рассчитывать на час, хотя некоторые могут
занять и полчаса (№№1,2).
Для получения зачета по с/с необходимо сделать хотя бы один доклад.
Желающие выбрать еще свободную тему, пишите лектору на ayv53@rambler.ru.
Возможно, что какая-то тема уже выбрана, однако, лектор этого не знает
(нпр., если заявка послана по другому московскому адресу). В этом случае
тоже напишите.
Помимо всего вышеперечисленного, будут предложены некоторые важные
нерешенные задачи/проблемы, связанные с диффузионными процессами и не
только с ними.
АЮВ
Статью Крылова и Сафонова можно взять на страничке прошлого семестра. Может быть полезно.
Существует полностью дифурное доказательство в книге Крылова 1985 г.
А это книга полезная сама по себе по СДУ: Гихман-Скороход 1982 г.
Осень 2010
Лекции 22 сентября все-таки не будет. В середине декабря 2010 я приеду и надеюсь провести еще несколько занятий. Точная программа для сдачи возможного экзамена (пока полгода) см. ниже (это только для студентов: для аспирантов будет добавочный материал, в основном, из книги Крылов, Управляемые процессы... ). А.Ю.В., 22.09.2010
Точная программа осеннего семестра (=программа к экзамену). Крылов, Лекции... т. 1-2. Том 1: параграфы 1-6, 9-13; том 2: параграфы 6-14; Крылов, Управляемые процессы... гл. 2, параграф 3, знать оценки из теоремы 4, формулировку леммы Скорохода (леммы 2 и 3 из гл. 2, параграфа 6) и формулировку теоремы о существовании решения (теорема 1, параграф 6, гл.2). Лемму Скорохода можно также брать из учебника Булинский, Ширяев, или из Икеда, Ватанабе.
Внимание слушателям с-к Стохастические дифференциальные уравнения:
Первая лекция состоится в пятницу 3 сентября, а последняя - 20 сентября. Это кажется несколько маловато, и я бы хотел провести дополнительное занятие в среду 22 сентября, если, конечно, слушатели согласны. Перед сдачей зачета или экзамена за полгода в середине декабря предполагается устроить одно или несколько дополнительных занятий. Все остальное время отводится для самостоятельной работы (минимальная связь по электронной почте возможна). О втором семестре и годовом экзамене или зачете поговорим на занятиях.
Аудитории и время: пн 4.45 - 8.05 ауд. 16-01 в 16.45, 12-13 в 18.30; пт. 4.45 - 8.05 ауд. 434 во 2-ом гуманитарном.
План спецкурса на осенний семестр
1. Винеровский процесс: построение и некоторые свойства.
2. Стохастический интеграл и первые понятия о стохастических дифференциальных уравнениях (СДУ). Необходимый вспомогательный материал (отчасти на семинарах) - мартингалы и семимартингалы, простейшие неравенства для них (Колмогорова и Дуба).
3. Формула Ито и некоторые теоремы о сильной единственности для СДУ.
4. Способы построения слабых решений и теорема Гирсанова
5. Оценки моментов решений СДУ, зависимость решений от параметров и начальных значений, марковское свойство.
6. Связь с решениями параболических дифференциальных уравнений второго порядка.
7. Начало темы "стационарные марковские процессы и перемешивание". (Это мы не успели начать, и к экзамену в декабре не готовить.)
Учебники
Н.В.Крылов, Введение в теорию случайных процессов. (lib.mexmat.ru)
Для участия в спецсеминаре необходимо приготовить доклад на одну из заданных тем, в основном, по материалам того же учебника.
В сентябре 2010 доклады сделали:
Токмаков Петр - о лемме Скорохода
Дао Нгок - пример №3 из параграфа 11 т.2 Лекций
Жданкин Иван - об условных математических ожиданиях
Эльмира Калимулина - пример №1 из параграфа 11 т.2 Лекций
Шапошников Александр - о построении винеровского процесса (по Лекциям)
13 декабря: я в Москве. Желающие со мной встретиться могут меня найти после кафедрального семинара в ближайшую среду на кафедре.
Для экзамена будут в ближайшее время предложено небольшое количество дополнительных вопросов и, вероятно, несколько файлов и линков. См. ниже.
1. Формула_Ито_два_доказательства по английскому варианту лекций Крылова
2. Лекции (бимер-файлы по английски, см. в разделе "material" JV.pdf & sdes0.pdf-sdes9.pdf): http://maths.dept.shef.ac.uk/magic/course.php?id=165
В частности, по JV.pdf предлагается дополнительный материал по построению винеровского процесса.
Весна 2011
Программа с/к (с/с) (апрель 2011)
1. План спецкурса
Учебники: [К] Н.В.Крылов, Введение в теорию случайных процессов, М., МГУ, 1986-1987 (возможно, частично будет использован английский вариант книги); [С] А.В.Скороход,Случайные процессы с независимыми приращениями, М, Наука, 1964; [ГС] И.И.Гихман и А.В.Скороход, Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения, Киев, Наукова Думка, 1982. Возможны дополнительные главы из других учебников.
А – процессы Леви ([K], при необходимости [С])
1.1. Интегрирование по случайной ортогональной мере
1.2. Строго марковское свойство винеровского процесса и процесс $tau(t)$
1.3. Безгранично делимые процессы: процессы с независимыми приращениями
1.4. Теорема о представлении Леви – Хинчина
1.5. Представление безгранично делимых процессов через меры скачков
1.6. Построение безгранично делимых процессов
Б – СДУ со скачками ([ГС])
2.1. Стохастический интеграл по скачкообразной мере
2.2. Стохастические дифференциальные уравнения со скачками: существование решения, единственность, марковское свойство
2.3. Их эргодические свойства (по статьям Масуды, Кулика и др.)
2. Темы спецсеминара – процессы Леви и их эргодические свойства. Более подробно темы будут определены к первому занятию 04.04.2011.
Спецкурс: понедельник, 16.45, ауд. 16-03; пятница, 16.45, ауд. 438
Спецсеминар: понедельник, 18.30, ауд. 12-13; пятница, 18.30, ауд. 438
Некоторые ссылки
Гихман-Скороход - см. весна 2010 Гихман-Скороход 1982 г.
Крылов (том 1-2) - см. осень 2009 Том1 Том2
Крылов (Eng.): & Крылов_пределы мартингалов & Крылов_ф.Гирсанова
Скороход - Независимые (гл.2,3 - документ "Djvu PostScript")
Эпплбаум - Процессы Леви (гл.6)
Масуда_1
Масуда_2
Кулик
Фундун-1
Фундун-2
04/04: 1.2-1.4 (обзор)
08/04: 1.1, 1.5
11/04: 1.4
15/04: 1.5, 1.6, начало ГС - о представлении процессов с независимыми приращениями
18/04: последняя теорема из лекций Крылова; ГС - теоремы единственности и существования для СДУ со скачками и формула Ито
22/04: ГС - формула Ито и теоремы единственности и существования для СДУ со скачками
25/04: построение функций Ляпунова по Масуда-1 (статья 2007г.)
29/04: (либо доказательство формулы Ито, либо конспект статьи Фундуна-2) //первое
Осень 2011
Кафедра Теории вероятностей
Теория эргодических марковских диффузионных процессов, с/к (3-5курс)
Профессор А.Ю.Веретенников
Сентябрь 2011, начало 02.09.2011
(желающие, пожалуйста, не опаздывайте, до 23 сентября всё на этот семестр закончится)
Пн 16.45-20.05 ауд 16-03 (первая пара) и 12-13 (вторая). Возможно, удастся остаться в 16-03.
Пт 16.45-20.05 ауд 438 (2 Гум).
Основные темы (возможны некоторые изменения):
1. Винеровский процесс.
2. Стохастический интеграл Ито, свойства.
3. Мартингальные неравенства для стохастического интеграла Ито.
4. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ). Слабые и сильные решения.
5. Экспоненты Гирсанова и теорема Гирсанова.
6. Связь СДУ с уравнениями в частных производных.
7. Введение в теорию процессов Леви.
8. Исследование гладкости распределения решения СДУ: теория Маллявэна-Бисмю и другие.
Эргодические свойства будут изучены на семинаре и, возможно, весной 2012.
Литература: курсы лекций по случайным процессам А.Д.Вентцеля, Н.В.Крылова и др. Также будет использована журнальная литература.
С/с: избранные главы лекций, учебников и монографий Крылова, Басса, Эпплбаума и др., статьи.
Начало лекций и семинаров 2 сентября (пт.) в 16:45,
аудитории 16-03 и 12-13 пн, Гум2-438 пт.
В середине декабря возможно продолжение вплоть до Нового года.
В весеннем семестре возможно продолжение, посвященное процессам Леви и теории «обратных СДУ» Парду-Пенга.
Возможные темы для курсовых и дипломных работ касаются оценок скорости перемешивания и скорости сходимости для различных классов случайных процессов, включающих СДУ, «телефонные системы», и др. С вопросами относительно таких тем можно обращаться по эл. адресу ayv@iitp.ru А.Ю.В.
Н.В.Крылов (англ), гл 2 и 5
Пройдено:
02.09 - винеровский процесс.
05.09 - вариант стохастического интеграла по винеровскому процессу, условные математические ожидания.
09.09 - другой вариант стохастического интеграла по случайной ортогональной мере, в частности, по винеровскому процессу. начало процессов Леви.
12.09 - начало семимартингальных неравенств. продолжение процессов Леви. введение в стохастические дифференциальные уравнения.
16.09 - семимартингальные неравенства (Дуба, Колмогорова-Дуба), приложение к непрерывности стохастического интеграла Ито по верхнему пределу.
19.09 -
23.09 - СДУ, теорема Ито, марковское свойство решения// с-с: Петр - о дробных производных по главе книги Колокольцова.
Весна 2012
19.03 & 23.03.2012: Формула Гирсанова и исчисление Маллявэна, вариант Бисмю.
Линк: http://www.mathnet.ru/links/4b25bfabdd519a0f551200cead5eb675/rm2863.pdf
| 
