Дискретная и вычислительная геометрия

Планаризация — это отображение f из открытого подмножества U вещественной проективной плоскости в вещественное проективное трехмерное пространство, переводящее отрезки прямых, содержащиеся в U, в отрезки плоских кривых. Изучение планаризаций тесно связано с изучением отображений, переводящих прямые в элементы определенных линейных систем (скажем, в окружности, коники и проч.). Классический результат в этом направлении — это теорема Мебиуса-фон Штаудта об отображениях, переводящих прямые в прямые. Эта теорема иногда называется основной теоремой проективной геометрии. Мы предполагаем, что все рассматриваемые планаризации достаточно гладки, то есть достаточное число раз дифференцируемы. Мы приведем полное описание всех планаризаций по модулю следующего отношения эквивалентности: два отображения эквивалентны, если они совпадают на непустом открытом множестве, после проективного преобразования в прообразе и проективного преобразования в образе. Кроме тривиальных случаев, имеется 16 классов, из которых 6 классов состоят из кубических отображений, а остальные 10 — из квадратичных отображений.